Compléments Ch1

1. Taux moyen d’une série de placements
Une même entreprise effectue différents placements qui se caractérisent tous par des montants des taux et des durées.

Capitaux	Taux	durées
C1	t1	n1 jours
C2	t2	n2 jours
C3	t3	n3 jours
C4	t4	n4 jours
C_k	t_k	n_k jours

Le calcul de l’intérêt total obtenu s’obtient en faisant la somme des intérêts

Le taux d’intérêt moyen T doit permettre d’obtenir le même résultat en appliquant un seul taux d’intérêt.

Nous avons donc une double égalité qui peut être simplifiée :

En mettant le taux moyen en facteur commun

On obtient alors

Ce qui peut s’exprimer de la façon suivante

2. Intérêt précompté et taux effectif du placement (ou emprunt)
Principe d’intérêt précompté
Dans certains contrat d’emprunt, les intérêts sont versés "d’avance", c’est à dire à la signature du contrat alors que le remboursement n’intervient qu’à l’échéance.
On constate alors que le prêteur ne met à disposition de l’emprunteur un montant égal au capital – les intérêts sur ce capital.
Le taux d’intérêt réel (ou effectif) dans ce cas est plus important que le taux nominal puisque si l’emprunteur désire disposer de la totalité du capital, il doit en fait emprunter plus.

Application
Vous vendez à l’entreprise DETERRE 3500 € de matériel. Celle-ci ne dispose pas de cette somme et contacte la Banque le Crédit Fermier. Celui-ci lui propose un contrat à 7.5 % remboursable dans 2 ans mais les intérêts sont payables à la signature.
Vous pouvez proposer le contrat de la Banque Nationale de Marseille, précédemment étudié, qui consent des prêts sur la même période mais au taux de 8% payable à l’échéance.
La formule de calcul des intérêts est la même dans les 2 cas.

Ce qui nous donne dans le cas 1 :

I₁ = 525 €

L’entreprise DETERRE recevra dons la somme empruntée 3500 € mais devra payer immédiatement la somme de 525 € (intérêt précompté).
Dans le contrat avec la BNM le crédit est plus coûteux en apparence puisque le montant des intérêts est alors calculé comme suit :

I₂= 560 €

Mais la somme prêtée est plus importante. Pour faire une comparaison qui soit juste, il faut comparer les taux effectifs, c’est à dire ceux qui sont calculés à partir des sommes effectivement obtenues.
Dans le contrat avec le Crédit Fermier le capital mis à la disposition de l’entreprise DETERRE est seulement de 3500 – 525 = 2975 €.
Taux effectif
Le calcul du taux s’effectue en prenant le montant des intérêts versés et en le divisant par le capital effectivement obtenu et par la durée.

d’où

Ce qui donne :
-> pour le Crédit Fermier

t₁ = 8.82 %
-> pour la BNM

t₂ = 8.00 % (dans ce cas le taux nominal et le taux effectif sont identiques)

Généralisation
Le taux effectif de placement T appliqué au capital disponible (C – I) doit donner le même résultat que le taux nominal appliqué t au capital emprunté.

Dans notre exemple nous avons les éléments suivants

t = 7.5 %

d = 2 (ans)

nous trouvons directement avec la formule suivante :

T = 8.82 %

Il est également possible de formuler cette égalité de la façon suivante :

Si la durée est en mois la formule devient alors :

Si elle est en jours

3. Méthode des nombres et des diviseurs fixes
Cette méthode de calcul des intérêts permet des simplifications lors du calcul des intérêts dégagés par différents prêts dont le montant et la durée varient mais le taux est unique.
Cette méthode est principalement utilisée dans les calculs où les durées sont exprimées en jours.

On peut également écrire :

Le diviseur est un diviseur fixe lorsque le taux des différents prêts est le même puisque ce terme ne dépend que de l’unité utilisée pour mesurer les durées et du taux.
Prenons le cas de 3 placements à 9 %

Placements	Montant des placements	Durée
P₁	620.00 €	21 jours
P₂	1 452.00 €	32 jours
P₃	845.00 €	55 jours

L’intérêt global obtenu est le suivant :

I = 26.49 €

La formule globale que nous pouvons en déduire est la suivante :

exercices

1 – Calcul d’intérêt

Le 12/09/2003 l’entreprise DETERRE emprunte 2300 € à la BNM au taux de 8.5%, elle devra rembourser cet emprunt majoré des intérêts le 25/03/2004. Quelle somme doit-elle prévoir ?

Le 22/09/2003 L’entreprise dispose de la somme de 1250 € qu’elle peut placer à 12 %, elle désire obtenir, à partir de cette somme, un capital de 1350 €, jusqu’à quelle date doit-elle laisser ce capital placé

La BNM et le Crédit Fermier proposent à l’entreprise DETERRE 2 placements pour le capital de 3400€ dont elle dispose.

la BNM lui propose 63.75 € pour 3 mois de placement
le Crédit Fermier 45.90 € pour 2 mois de placement
Comparez les 2 taux d’intérêt

2 - rendement moyen d'un placement
L’entreprise DETERRE a encaissé 3 paiements en provenance de ses clients et les a immédiatement placés.
Plus tard, en fonction de ses besoins, elle les a retirés (comme le montre le tableau ci-dessous).

Montants des placements	Taux	Date d’encaissement	Date de retrait
1 200 €	7.5 %	12 septembre	15 octobre
850 €	8.2 %	14 septembre	25 octobre
145 €	8.5 %	25 septembre	10 novembre

Quelles étaient les valeurs acquises par ces placements ?
Quel est le taux de rendement moyen de ces placements ?

3 – Méthode des nombres et diviseurs fixes
L’entreprise DETERRE accorde à ses clients des délais de paiement avec un taux fixe de 4% l’an.

Clients	Montants	Date	Délais *
Gérard MANSOIFFE	1 200.00 €	08/09	60
Justin POORLAROOT	850.00 €	15/09	30
Geoffroy LIVAIRE	480.00 €	25/09	30

* Délais = x jours fin de mois

Calculez les intérêts perçus sur ces prêts et l’intérêt total en utilisant la méthode des nombres et des diviseurs fixes.

4 – Intérêt précompté et taux effectif de placement
L’entreprise DETERRE place à intérêt précompté la somme de 2000 € pendant 20 mois.
Calculez le taux effectif de placement qui résulte de cette opération.

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